1 Nejistoty měření, chyba metody

1.1

Určete rozšířenou nejistotu typu B (s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2) při měření napětí číslicovým voltmetrem, je-li použitý rozsah voltmetru 0,3 V a chyba voltmetru je dána hodnotami ± 0,1 % údaje ± 0,05 % rozsahu. Voltmetr ukazuje 30 mV.
[0,208]

Řešení

Máme voltmetr s rozsahem $M = 0,3\,\mathrm{V}$ a chybami $\delta_1 = \pm 0,1\,\%$ z údaje a $\delta_2 = \pm 0,05\,\%$ z rozsahu. Naměřená hodnota je $X = 30\,\mathrm{mV}\,=\,0,03\,\mathrm{V}$.

Použijme vztah pro určení chyby údaje $\Delta_X$:

$\Delta_X = \frac{\delta_1}{100} \cdot X + \frac{\delta_2}{100} \cdot M$
$\Delta_X = \frac{0,1}{100} \cdot 0,03 + \frac{0,05}{100} \cdot 0,3$
$\Delta_X = 0,00018\,V\,=\,0,18 mV$

Nyní určíme standardní nejisotu přístroje typu B:

$u_b = \sigma = \frac{\Delta_X}{\sqrt{3}}$
$u_b = \frac{0,00018}{\sqrt{3}} \approx =\,0,104\,mV$

Výsledek včetně rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2:

$U_X = 30 mV \pm 0,208 mV;\,k_r=2$

1.2

Vypočtěte rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření proudu stejnosměrným číslicovým miliampérmetrem na rozsahu 30 mA, ukazuje-li hodnotu 10 mA a je-li dána chyba miliampérmetru hodnotami ± 0,2 % z údaje ± 0,1 % z rozsahu?
[0,058 mA]

1.3

Určete rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření proudu střídavým číslicovým miliampérmetrem na rozsahu 300 mA, ukazuje-li miliampérmetr s 4-místným displejem hodnotu 50 mA a je-li dána chyba miliampérmetru hodnotami ± 0,7 % z údaje ± 6 digitů?
[1,10 mA]

Řešení

Máme digitální miliampérmetr s rozsahem $M=300\,mA$, chybou z údaje $\delta_1 = \pm 0,7\,\%,\, N =\pm 6$ digitů. Naměřená hodnota je $I_X = 50\, mA$.

Použijme vztah pro určení chyby údaje $\Delta_X$:

$\Delta_X = \frac{\delta_1}{100} \cdot X + N \cdot R$

kde

$N$ počet digitů, které výrobce udává jako chybu
$R$ je rozlišení (hodnota jednoho digitu)

Dosadíme hodnoty ze zadání:

$\Delta_X = \frac{0,7}{100} \cdot 50 + 6 \cdot \frac{300}{3000} = 0,95 mA$

Nyní určíme standardní nejisotu přístroje typu B:

$u_b = \sigma = \frac{\Delta_X}{\sqrt{3}} = \frac{0,95}{\sqrt{3}} \approx 0,55\, mA$

Výsledek včetně rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2:

$I_X = 50 mA \pm 1,10 mA;\,k_r=2$

1.4

Určete rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření napětí střídavým číslicovým voltmetrem s rozsahem 300 V a 4-místným displejem, ukazuje-li hodnotu 100 V a jeho chyba je dána hodnotami ± 0,1 % z údaje ± 3 digity.
[0,462 V]

1.5

Určete relativní chybu metody (v %) při měření voltmetrem, který je připojen k většímu ze dvou odporů děliče 10 kΩ a 20 kΩ. Vstupní napětí děliče je 3 V. Voltmetr má odpor 40 kΩ.
[-14,3 %]

1.6

Zdroj napětí 400 mV má vnitřní odpor 10 Ω a úkolem je změřit jeho zkratový proud. K dispozici je miliampérmetr s rozsahem 20 mA a úbytkem napětí 200 mV při plném využití rozsahu. Vypočtěte relativní chybu metody v % způsobenou odporem miliampérmetru.
[50 %]

1.7

Vypočtěte poměrnou chybu metody (v %), která vzniká při měření napětí spotřebou voltmetru. Odpor voltmetru je 10 000 Ω/V, naměřená hodnota je 3 V a rozsah voltmetru 6 V. Vnitřní odpor měřeného zdroje napětí je 300 Ω.
[-0,5 %]

Řešení

Nejprve si nakreslíme schéma daného problému. Máme zdroj napětí s vnitřním odporem $R_i=300\,\Omega$ a voltmetr se vstupním odporem $60\,000\, k\Omega$ pro napěťový rozsah $6\,V$. Na voltmetru měříme napětí $U_V=3\,V$.

Skutečné napětí na zdroji bez zatížení voltmetrem bude dáno odporovým děličem a vztahem:

$U = U_V \cdot \frac{R_V + R_i}{R_V}$

Dosadíme a vypočítáme:

$U_0 = 3 \cdot \frac{60\,000 + 300}{60\,000} = 3.015 \,\text{V}$

Poměrná chyba metody je následující:

$\delta = \frac{U_V - U}{U_V} \cdot 100 \,\%$
$\delta = \frac{3 - 3.015}{3} \cdot 100 = -0.5 \,\%$

Poměrná chyba metody je $-0.5 \,\%$.

--- title: "Nejistoty měření, chyba metody" --- ## Určete rozšířenou nejistotu typu B (s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2) při měření napětí číslicovým voltmetrem, je-li použitý rozsah voltmetru 0,3 V a chyba voltmetru je dána hodnotami ± 0,1 % údaje ± 0,05 % rozsahu. Voltmetr ukazuje 30 mV. **[0,208]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} Máme voltmetr s rozsahem $M = 0,3\,\mathrm{V}$ a chybami $\delta_1 = \pm 0,1\,\%$ z údaje a $\delta_2 = \pm 0,05\,\%$ z rozsahu. Naměřená hodnota je $X = 30\,\mathrm{mV}\,=\,0,03\,\mathrm{V}$. Použijme vztah pro určení chyby údaje $\Delta_X$: - $\Delta_X = \frac{\delta_1}{100} \cdot X + \frac{\delta_2}{100} \cdot M$ - $\Delta_X = \frac{0,1}{100} \cdot 0,03 + \frac{0,05}{100} \cdot 0,3$ - $\Delta_X = 0,00018\,V\,=\,0,18 mV$ Nyní určíme standardní nejisotu přístroje typu B: - $u_b = \sigma = \frac{\Delta_X}{\sqrt{3}}$ - $u_b = \frac{0,00018}{\sqrt{3}} \approx =\,0,104\,mV$ **Výsledek včetně rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2:** - $U_X = 30 mV \pm 0,208 mV;\,k_r=2$ ::: ## Vypočtěte rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření proudu stejnosměrným číslicovým miliampérmetrem na rozsahu 30 mA, ukazuje-li hodnotu 10 mA a je-li dána chyba miliampérmetru hodnotami ± 0,2 % z údaje ± 0,1 % z rozsahu? **[0,058 mA]** ## Určete rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření proudu střídavým číslicovým miliampérmetrem na rozsahu 300 mA, ukazuje-li miliampérmetr s 4-místným displejem hodnotu 50 mA a je-li dána chyba miliampérmetru hodnotami ± 0,7 % z údaje ± 6 digitů? **[1,10 mA]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} Máme digitální miliampérmetr s rozsahem $M=300\,mA$, chybou z údaje $\delta_1 = \pm 0,7\,\%,\, N =\pm 6$ digitů. Naměřená hodnota je $I_X = 50\, mA$. Použijme vztah pro určení chyby údaje $\Delta_X$: - $\Delta_X = \frac{\delta_1}{100} \cdot X + N \cdot R$ kde - $N$ počet digitů, které výrobce udává jako chybu - $R$ je rozlišení (hodnota jednoho digitu) Dosadíme hodnoty ze zadání: - $\Delta_X = \frac{0,7}{100} \cdot 50 + 6 \cdot \frac{300}{3000} = 0,95 mA$ Nyní určíme standardní nejisotu přístroje typu B: - $u_b = \sigma = \frac{\Delta_X}{\sqrt{3}} = \frac{0,95}{\sqrt{3}} \approx 0,55\, mA$ **Výsledek včetně rozšířené nejistoty s koeficientem rozšíření $k_r$ = 2:** - $I_X = 50 mA \pm 1,10 mA;\,k_r=2$ ::: ## Určete rozšířenou nejistotu typu B (koeficient rozšíření $k_r$ = 2) při měření napětí střídavým číslicovým voltmetrem s rozsahem 300 V a 4-místným displejem, ukazuje-li hodnotu 100 V a jeho chyba je dána hodnotami ± 0,1 % z údaje ± 3 digity. **[0,462 V]** ## Určete relativní chybu metody (v %) při měření voltmetrem, který je připojen k většímu ze dvou odporů děliče 10 kΩ a 20 kΩ. Vstupní napětí děliče je 3 V. Voltmetr má odpor 40 kΩ. **[-14,3 %]** ## Zdroj napětí 400 mV má vnitřní odpor 10 Ω a úkolem je změřit jeho zkratový proud. K dispozici je miliampérmetr s rozsahem 20 mA a úbytkem napětí 200 mV při plném využití rozsahu. Vypočtěte relativní chybu metody v % způsobenou odporem miliampérmetru. **[50 %]** ## Vypočtěte poměrnou chybu metody (v %), která vzniká při měření napětí spotřebou voltmetru. Odpor voltmetru je 10 000 Ω/V, naměřená hodnota je 3 V a rozsah voltmetru 6 V. Vnitřní odpor měřeného zdroje napětí je 300 Ω. **[-0,5 %]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} Nejprve si nakreslíme schéma daného problému. Máme zdroj napětí s vnitřním odporem $R_i=300\,\Omega$ a voltmetr se vstupním odporem $60\,000\, k\Omega$ pro napěťový rozsah $6\,V$. Na voltmetru měříme napětí $U_V=3\,V$. ![](figs/01_7ex.svg){width=40% style="max-width: 350px; min-width: 220px;"} Skutečné napětí na zdroji bez zatížení voltmetrem bude dáno odporovým děličem a vztahem: $U = U_V \cdot \frac{R_V + R_i}{R_V}$ Dosadíme a vypočítáme: - $U_0 = 3 \cdot \frac{60\,000 + 300}{60\,000} = 3.015 \,\text{V}$ Poměrná chyba metody je následující: - $\delta = \frac{U_V - U}{U_V} \cdot 100 \,\%$ - $\delta = \frac{3 - 3.015}{3} \cdot 100 = -0.5 \,\%$ Poměrná chyba metody je $-0.5 \,\%$. :::