3 Měřicí zesilovače s OZ

3.1

Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s použitím ideálního operačního zesilovače a pro přenos $-2\,\mathrm{mA}/5\,\mathrm{V}$ určete velikosti použitých součástek. Dále určete rozšířenou nejistotu měření proudu $I_X = 1\,\mathrm{mA}$ při $k_r = 2$, je-li k dispozici voltmetr s rozsahem $5\,V$ a třídou přesnosti $0,5$ a rezistor s tolerancí odporu $0,5\,\%$. [$R_2 = 2500\,\Omega$, $I_X = 12,9 \, \mu A$]

Řešení

Pro převodník $I\rightarrow U$ v invertujícím zapojení platí vztah: \[ I_X = - I_R = - \frac{U_2}{R} \]

Návrh převodníku (hodnota $R$)

Požadovaný převod: $-2\,\mathrm{mA} \mapsto 5\,\mathrm{V}$
\[ R=\frac{5\,\mathrm{V}}{2\,\mathrm{mA}}=2500\,\Omega \]

Standardní nejistoty vstupů

Voltmetr: rozsah $M=5\,\mathrm{V}$, třída přesnosti $0{,}5\,\%$ z rozsahu.
\[\begin{equation} \begin{split} u_{U} & = \frac{\frac{\mathrm{TP}}{100}\,\cdot\,\mathrm{M}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{\mathrm{0,5}}{100}\,\cdot\,\mathrm{5}}{\sqrt{3}} & \approx 0{,}014\,\mathrm{V} \end{split} \end{equation}\]
Rezistor: tolerance $0{,}5\,\%$ z $R_2=2500\,\Omega$
\[\begin{equation} \begin{split} u_{R} = & \frac{\frac{\delta_R}{100}\,\cdot R_2}{\sqrt{3}} \\ = & \frac{\frac{0,5}{100}\,\cdot 2500}{\sqrt{3}} \approx 7{,}22\,\Omega \end{split} \end{equation}\]

Nepřímé měření proudu a kombinovaná standardní nejistota

Proud určujeme nepřímo z měřeného napětí a odporu: \[ I_X = \frac{U_2}{R} \]

Pro $I_X = 1\,\mathrm{mA}$ platí $U_2 = 2{,}5\,\mathrm{V}$.

Parciální derivace: \[ \frac{\partial I_X}{\partial U_2} = \frac{1}{R}, \qquad \frac{\partial I_X}{\partial R} = -\frac{U_2}{R^2} \]

Vztah pro kombinovanou standardní nejistotu: \[ u_I = \sqrt{ \left( \frac{1}{R}u_U \right)^2 + \left( \frac{U}{R^2}u_R \right)^2 } \]

Dosazení: \[ u_I=\sqrt{ \left(\frac{1}{2500}\cdot0{,}014\right)^2+ \left(\frac{2{,}5}{2500^2}\cdot7{,}22\right)^2 }\approx6{,}30\,\mu\mathrm{A} \]

Rozšířená nejistota

\[ u_I'=k_r\cdot u_I=2\cdot 6{,}30\,\mu\mathrm{A} = 12{,}6\,\mu\mathrm{A} \]

Výsledek:
\[ R_2=2500\,\Omega,\qquad I_X=1{,}000\,\mathrm{mA}\ \pm\ 12{,}6\,\mu\mathrm{A}\ (k_r=2) \]

3.2

Nakreslete zapojení a navrhněte hodnoty použitých odporů měřicího zesilovače v invertujícím zapojení, který má měřit napětí termočlánku do $10\,mV$. Na výstupu zesilovače je voltmetr s rozsahem $2,4\,V$. Je požadován vstupní odpor zapojení větší než $1000\,Ω$. [např. $R_1 = 2000 \, \Omega$, $R_2 = 480\,000 \, \Omega$]

Řešení

Pro invertující zesilovač s ideálním OZ platí: \[ A = \frac{U_2}{U_1} = -\frac{R_2}{R_1} \]

Požadované zesílení

Pro vstupní napětí termočlánku máme stanovenou maximální hodnotu $U_\text{1,max}=10\,\mathrm{mV}$ a maximální výstupní napětí voltmetru $U_\text{2,max}=2{,}4\,\mathrm{V}$.

\[\begin{equation} \begin{split} |A| = & \frac{U_2}{U_1} \\ = & \frac{2{,}4}{0{,}010} = 240 \\ \Rightarrow & \quad \frac{R_2}{R_1}=240 \end{split} \end{equation}\]

Volba odporů a kontrola vstupního odporu

Požadavek: $R_\text{in} > 1\,000\,\Omega$. V invertujícím zapojení je vstupní odpor $R_\text{in} = R_1$.
Zvolíme standardní hodnotu: \[ R_1 = 2\,000 \Omega\;>\; 1\,000\,\Omega \] Pak: \[ R_2 = 240 \cdot R_1 = 240 \cdot 2\,000\,\Omega = 480\,000\,\Omega \]

3.3

Nakreslete zapojení zdroje proudu $0,5\, mA$ řízeného napětím (s použitím operačního zesilovače). Napětí na vstupu zesilovače je maximálně $1\,V$. Určete hodnotu odporu, který v zapojení definuje hodnotu proudu. [$R_1 = 2000\,\Omega$]

Řešení

Ideální OZ zajistí virtuální zkrat: $U_{-} = U_{+} = U_1$ a vstupní proud $I_\text{in-}=0$.
Proto teče stejný proud $I_1$ rezistorem $R_1$ i proud $I_Z$ rezistorem $R_Z$: \[ I_Z = I_1 = \frac{U_1}{R_1}. \]

Návrh hodnoty $R_1$

Požadovaný proud: $I_Z = 0{,}5\,\mathrm{mA}$ při $U_1 \le 1\,\mathrm{V}$ (plného proudu dosáhneme při $U_1=1\,\mathrm{V}$): \[ R_1 = \frac{U_1}{I_Z} = \frac{1\,\mathrm{V}}{0{,}5\,\mathrm{mA}} = 2000\,\Omega. \]

3.4

Navrhněte invertující zapojení měřicího zesilovače s operačním zesilovačem, které má být použito k měření zdroje napětí $5\,mV$ s vnitřním odporem $0,5\,\Omega$. Navrhněte odpory v zapojení, je-li požadováno výstupní napětí zesilovače $|U2| = 5\,V$ a chyba metody vlivem vstupního odporu zesilovače menší než $1\,\%$. [$R_1 > 50\,\Omega$, např. $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 100\,k\Omega$]

3.5

Nakreslete zapojení s operačním zesilovačem, vhodné pro měření stejnosměrného proudu $I_X$ do hodnoty $0,6\,mA$ a napište vztah pro určení $I_X$. Výstupní napětí $U_2$ operačního zesilovače je měřeno ručkovým voltmetrem s rozsahem $6\,V$. Určete hodnotu odporu $R$ zpětnovazební sítě (OZ považujte za ideální). [$R = 10\,k\Omega$]

3.6

Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s operačním zesilovačem, vhodné pro měření stejnosměrného proudu do maximální hodnoty $2\,mA$. Výstupní napětí operačního zesilovače je měřeno A/Č převodníkem s rozsahem $2\,V$. Určete hodnotu odporu zpětnovazební sítě. [$R_2 = 1000\,\Omega$]

3.7

Zesilovač s operačním zesilovačem určený pro měření napětí termočlánku má mít tyto parametry: vstupní odpor větší než $10\,k\Omega$, zesílení $200$. Nakreslete schéma zesilovače a navrhněte odpory rezistorů zpětnovazební sítě. Výstupní napětí je měřeno číslicovým voltmetrem s rozsahem $1\,V$. Určete rozšířenou nejistotu měření vstupního napětí $2,5\,mV$, je-li chyba číslicového voltmetru $\pm 0,1\,\%$ z údaje $\pm 0,05\,\%$ z rozsahu a tolerance každého z použitých rezistorů $0,1\,\%$. Předpokládejte ideální operační zesilovač. [$R_1 = 1\,k\Omega$, $R_2 = 199\,k\Omega$, $U_X = 10\,\mu V$]

3.8

Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s převodem $1\,mA/10\,V$ s použitím operačního zesilovače. Vypočtěte hodnotu zpětnovazebního odporu a určete rozšířenou nejistotu typu B (pro $k_r = 2$) při měření proudu $0,5\,mA$. Máte k dispozici číslicový voltmetr s rozsahem $10\,V$ a udávanou chybou $\pm 0,2\,\%$ z údaje $\pm 0,1\,\%$ z rozsahu. Tolerance velikosti zpětnovazebního odporu je $0,5\,\%$, vstupní klidový proud OZ je max. $1\,\mu A$. [$R_2 = 10\,k\Omega$, $I_X = 4\,\mu A$]

3.9

Navrhněte zapojení zesilovače s operačním zesilovačem se zesílením $100$, které má být použito k měření zdroje napětí $5\,mV$ s vnitřním odporem $1\,\Omega$. Navrhněte hodnotu odporů a určete relativní rozšířenou nejistotu typu B ($k_r = 2$) měření vstupního napětí. A/Č převodník připojený k výstupu má rozsah $1\,V$ a chybu $0,25\,\%$ z rozsahu, tolerance odporů použitých rezistorů je $0,1\,\%$. Zapojení navrhněte tak, aby vliv vstupního odporu byl menší než $0,05\,\%$ a bylo možno jej tedy zanedbat. Operační zesilovač považujte za ideální. [$R_1 = 1000\,\Omega$, $R_2 = 100\,000\,\Omega$, relativní rozšířená nejistota = $0,6\, \%$]

3.10

Nakreslete invertující zapojení měřicího zesilovače s operačním zesilovačem, které má být použito k měření napětí zdroje $200\,mV$ s vnitřním odporem $0,5\,\Omega$. Navrhněte odpory zapojení, je-li požadováno výstupní napětí zesilovače $U = 2\,V$ a chyba metody vlivem vstupního odporu zesilovače menší než $1\,\%$. [$R1 > 50\,\Omega$; např. $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 1000\,\Omega$]

--- title: "Měřicí zesilovače s OZ" --- ## Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s použitím ideálního operačního zesilovače a pro přenos $-2\,\mathrm{mA}/5\,\mathrm{V}$ určete velikosti použitých součástek. Dále určete rozšířenou nejistotu měření proudu $I_X = 1\,\mathrm{mA}$ při $k_r = 2$, je-li k dispozici voltmetr s rozsahem $5\,V$ a třídou přesnosti $0,5$ a rezistor s tolerancí odporu $0,5\,\%$. **[$R_2 = 2500\,\Omega$, $I_X = 12,9 \, \mu A$]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} ![](figs/03_1ex.png){fig-align="center" width=50% style="max-width: 400px; min-width: 250px;"} Pro převodník $I\rightarrow U$ v invertujícím zapojení platí vztah: $$ I_X = - I_R = - \frac{U_2}{R} $$ **Návrh převodníku (hodnota $R$)** Požadovaný převod: $-2\,\mathrm{mA} \mapsto 5\,\mathrm{V}$ $$ R=\frac{5\,\mathrm{V}}{2\,\mathrm{mA}}=2500\,\Omega $$ **Standardní nejistoty vstupů** - **Voltmetr:** rozsah $M=5\,\mathrm{V}$, třída přesnosti $0{,}5\,\%$ z *rozsahu*. \begin{equation} \begin{split} u_{U} & = \frac{\frac{\mathrm{TP}}{100}\,\cdot\,\mathrm{M}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{\mathrm{0,5}}{100}\,\cdot\,\mathrm{5}}{\sqrt{3}} & \approx 0{,}014\,\mathrm{V} \end{split} \end{equation} - **Rezistor:** tolerance $0{,}5\,\%$ z $R_2=2500\,\Omega$ \begin{equation} \begin{split} u_{R} = & \frac{\frac{\delta_R}{100}\,\cdot R_2}{\sqrt{3}} \\ = & \frac{\frac{0,5}{100}\,\cdot 2500}{\sqrt{3}} \approx 7{,}22\,\Omega \end{split} \end{equation} **Nepřímé měření proudu a kombinovaná standardní nejistota** Proud určujeme nepřímo z měřeného napětí a odporu: $$ I_X = \frac{U_2}{R} $$ Pro $I_X = 1\,\mathrm{mA}$ platí $U_2 = 2{,}5\,\mathrm{V}$. Parciální derivace: $$ \frac{\partial I_X}{\partial U_2} = \frac{1}{R}, \qquad \frac{\partial I_X}{\partial R} = -\frac{U_2}{R^2} $$ Vztah pro kombinovanou standardní nejistotu: $$ u_I = \sqrt{ \left( \frac{1}{R}u_U \right)^2 + \left( \frac{U}{R^2}u_R \right)^2 } $$ Dosazení: $$ u_I=\sqrt{ \left(\frac{1}{2500}\cdot0{,}014\right)^2+ \left(\frac{2{,}5}{2500^2}\cdot7{,}22\right)^2 }\approx6{,}30\,\mu\mathrm{A} $$ **Rozšířená nejistota** $$ u_I'=k_r\cdot u_I=2\cdot 6{,}30\,\mu\mathrm{A} = 12{,}6\,\mu\mathrm{A} $$ **Výsledek:** $$ R_2=2500\,\Omega,\qquad I_X=1{,}000\,\mathrm{mA}\ \pm\ 12{,}6\,\mu\mathrm{A}\ (k_r=2) $$ ::: ## Nakreslete zapojení a navrhněte hodnoty použitých odporů měřicího zesilovače v invertujícím zapojení, který má měřit napětí termočlánku do $10\,mV$. Na výstupu zesilovače je voltmetr s rozsahem $2,4\,V$. Je požadován vstupní odpor zapojení větší než $1000\,Ω$. **[např. $R_1 = 2000 \, \Omega$, $R_2 = 480\,000 \, \Omega$]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} ![](figs/03_2ex.png){fig-align="center" width=50% style="max-width: 400px; min-width: 250px;"} Pro invertující zesilovač s ideálním OZ platí: $$ A = \frac{U_2}{U_1} = -\frac{R_2}{R_1} $$ **Požadované zesílení** Pro vstupní napětí termočlánku máme stanovenou maximální hodnotu $U_\text{1,max}=10\,\mathrm{mV}$ a maximální výstupní napětí voltmetru $U_\text{2,max}=2{,}4\,\mathrm{V}$. \begin{equation} \begin{split} |A| = & \frac{U_2}{U_1} \\ = & \frac{2{,}4}{0{,}010} = 240 \\ \Rightarrow & \quad \frac{R_2}{R_1}=240 \end{split} \end{equation} **Volba odporů a kontrola vstupního odporu** Požadavek: $R_\text{in} > 1\,000\,\Omega$. V invertujícím zapojení je vstupní odpor $R_\text{in} = R_1$. Zvolíme standardní hodnotu: $$ R_1 = 2\,000 \Omega\;>\; 1\,000\,\Omega $$ Pak: $$ R_2 = 240 \cdot R_1 = 240 \cdot 2\,000\,\Omega = 480\,000\,\Omega $$ ::: ## Nakreslete zapojení zdroje proudu $0,5\, mA$ řízeného napětím (s použitím operačního zesilovače). Napětí na vstupu zesilovače je maximálně $1\,V$. Určete hodnotu odporu, který v zapojení definuje hodnotu proudu. **[$R_1 = 2000\,\Omega$]** ::: {.callout-note collapse="true" title="Řešení"} ![](figs/03_3ex.png){fig-align="center" width=30% style="max-width: 300px; min-width: 200px;"} Ideální OZ zajistí virtuální zkrat: $U_{-} = U_{+} = U_1$ a vstupní proud $I_\text{in-}=0$. Proto teče stejný proud $I_1$ rezistorem $R_1$ i proud $I_Z$ rezistorem $R_Z$: $$ I_Z = I_1 = \frac{U_1}{R_1}. $$ **Návrh hodnoty $R_1$** Požadovaný proud: $I_Z = 0{,}5\,\mathrm{mA}$ při $U_1 \le 1\,\mathrm{V}$ (plného proudu dosáhneme při $U_1=1\,\mathrm{V}$): $$ R_1 = \frac{U_1}{I_Z} = \frac{1\,\mathrm{V}}{0{,}5\,\mathrm{mA}} = 2000\,\Omega. $$ ::: ## Navrhněte invertující zapojení měřicího zesilovače s operačním zesilovačem, které má být použito k měření zdroje napětí $5\,mV$ s vnitřním odporem $0,5\,\Omega$. Navrhněte odpory v zapojení, je-li požadováno výstupní napětí zesilovače $|U2| = 5\,V$ a chyba metody vlivem vstupního odporu zesilovače menší než $1\,\%$. **[$R_1 > 50\,\Omega$, např. $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 100\,k\Omega$]** ## Nakreslete zapojení s operačním zesilovačem, vhodné pro měření stejnosměrného proudu $I_X$ do hodnoty $0,6\,mA$ a napište vztah pro určení $I_X$. Výstupní napětí $U_2$ operačního zesilovače je měřeno ručkovým voltmetrem s rozsahem $6\,V$. Určete hodnotu odporu $R$ zpětnovazební sítě (OZ považujte za ideální). **[$R = 10\,k\Omega$]** ## Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s operačním zesilovačem, vhodné pro měření stejnosměrného proudu do maximální hodnoty $2\,mA$. Výstupní napětí operačního zesilovače je měřeno A/Č převodníkem s rozsahem $2\,V$. Určete hodnotu odporu zpětnovazební sítě. **[$R_2 = 1000\,\Omega$]** ## Zesilovač s operačním zesilovačem určený pro měření napětí termočlánku má mít tyto parametry: vstupní odpor větší než $10\,k\Omega$, zesílení $200$. Nakreslete schéma zesilovače a navrhněte odpory rezistorů zpětnovazební sítě. Výstupní napětí je měřeno číslicovým voltmetrem s rozsahem $1\,V$. Určete rozšířenou nejistotu měření vstupního napětí $2,5\,mV$, je-li chyba číslicového voltmetru $\pm 0,1\,\%$ z údaje $\pm 0,05\,\%$ z rozsahu a tolerance každého z použitých rezistorů $0,1\,\%$. Předpokládejte ideální operační zesilovač. **[$R_1 = 1\,k\Omega$, $R_2 = 199\,k\Omega$, $U_X = 10\,\mu V$]** ## Nakreslete zapojení převodníku $I\rightarrow U$ s převodem $1\,mA/10\,V$ s použitím operačního zesilovače. Vypočtěte hodnotu zpětnovazebního odporu a určete rozšířenou nejistotu typu B (pro $k_r = 2$) při měření proudu $0,5\,mA$. Máte k dispozici číslicový voltmetr s rozsahem $10\,V$ a udávanou chybou $\pm 0,2\,\%$ z údaje $\pm 0,1\,\%$ z rozsahu. Tolerance velikosti zpětnovazebního odporu je $0,5\,\%$, vstupní klidový proud OZ je max. $1\,\mu A$. **[$R_2 = 10\,k\Omega$, $I_X = 4\,\mu A$]** ## Navrhněte zapojení zesilovače s operačním zesilovačem se zesílením $100$, které má být použito k měření zdroje napětí $5\,mV$ s vnitřním odporem $1\,\Omega$. Navrhněte hodnotu odporů a určete relativní rozšířenou nejistotu typu B ($k_r = 2$) měření vstupního napětí. A/Č převodník připojený k výstupu má rozsah $1\,V$ a chybu $0,25\,\%$ z rozsahu, tolerance odporů použitých rezistorů je $0,1\,\%$. Zapojení navrhněte tak, aby vliv vstupního odporu byl menší než $0,05\,\%$ a bylo možno jej tedy zanedbat. Operační zesilovač považujte za ideální. **[$R_1 = 1000\,\Omega$, $R_2 = 100\,000\,\Omega$, relativní rozšířená nejistota = $0,6\, \%$]** ## Nakreslete invertující zapojení měřicího zesilovače s operačním zesilovačem, které má být použito k měření napětí zdroje $200\,mV$ s vnitřním odporem $0,5\,\Omega$. Navrhněte odpory zapojení, je-li požadováno výstupní napětí zesilovače $U = 2\,V$ a chyba metody vlivem vstupního odporu zesilovače menší než $1\,\%$. **[$R1 > 50\,\Omega$; např. $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 1000\,\Omega$]**